CHƯƠNG 2 : LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT

§2.1. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG

2.1.1. Đặt vấn đề :

Trong hệ tọa độ Decartes cho 1 vật thể chịu tác dụng của ngoại lực, bao

gồm:

* Lực thể tích: Là lực phân bố trong không gian của vật thể, được đặc

trưng bởi cường độ f và là lực trong một đơn vị thể tích, có hình chiếu lên 3

trục tọa độ x, y, z là: fx , fy , fz .

* Lực diện tích (lực bề mặt): Là lực tác dụng trên một phần hay trên toàn

bộ bề mặt giới hạn của vật thể, được đặc trưng bởi cường độ f* và là lực trên

một đơn vị diện tích, có hình chiếu lên ba trục tọa độ x, y, z là f x , f y , f z .

Dưới những tác dụng này, vật thể nằm ở trạng thái cân bằng tĩnh hoặc động

nên những phần tử vật chất của vật thể cũng nằm ở trạng thái cân bằng tương

ứng.

* Những phần tử hình hộp có sáu mặt cắt ở bên trong vật thể gọi là phần

tử loại 1.

* Những phần tử có ít nhất một mặt là bề mặt ngoài của vật thể gọi là

phần tử loại 2, trong trường hợp tổng quát, phần tử loại 2 là một khối tứ diện.

Điều kiện cân bằng của vật thể được đảm bảo thông qua điều kiện cân

bằng của tất cả các phần tử loại 1 và loại 2.

2.1.2. Phương trình vi phân cân bằng :

2. Phương trình cân bằng:

*

*

*

∂σ x ∂τ yx ∂τ zx

+

+

+ f x = 0;

∂x ∂y

∂z

∂τ xy ∂σ y ∂τ zy

+

+

+ f y = 0;

∂x ∂y ∂z

∂τ xz ∂τ yz ∂σ z

+

+

+ f z = 0.

∂x ∂y ∂z

ρ

∂ 2u

(ρ 2 ) ;

∂t

∂2v

(ρ 2 ) ;

∂t

∂2w

(ρ 2 ) .

∂t

(2.1)

Với : mật độ khối lượng của vật thể.

+ Trong trường hợp cân bằng tĩnh: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng 0.

+ Trong trường hợp cân bằng động: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng các

lượng trong dấu ngoặc; u, v, w là các thành phần chuyển vị của phần tử vật

chất tại điểm M theo 3 phương x,y,z. Lượng trong dấu ngoặc nếu đổi dấu thì

chính là các lực quán tính của một đơn vị thể tích chiếu lên ba phương của các

trục tọa độ.

Hệ phương trình (2.1) được gọi là phương trình cân bằng tĩnh học

NAVIER- CAUCHY.

2.1.3. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp :

Phát biểu định luật: Ứng suất tiếp trên 2 mặt vuông góc về trị số bằng

nhau nhưng ngược chiều .

a

a

a

a

(Hình.2.4)

2.1.5. Kết luận:

1. Về mặt cơ học: Hệ phương trình (2.1) và (2.3) biểu diễn mối quan hệ

giữa nội lực và ngoại lực là điều kiện cân bằng của toàn bộ vật thể.

2. Về mặt toán học:

Hệ phương trình (2.1) là hệ phương trình vi phân đối với các ẩn số ứng

suất, khi tích phân sẽ có các hằng số tích phân.

Còn hệ phương trình (2.3) là điều kiện để xác định các hằng số tích phân

ấy.

§2.2. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG -

TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT - TENXƠ ỨNG SUẤT

2.2.4. Trạng thái ứng suất - Tenxơ ứng suất :

* Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp các ứng suất trên mọi mặt

cắt có thể đi qua điểm đó.

Kết luận: Trạng thái ứng suất tại một điểm đặc trưng bởi chín thành

phần ứng suất trên các mặt cắt vuông góc với các trục tọa đô đi qua điểm đó.

Chín thành phần này lập thành một đại lượng gọi là tenxơ ứng suất.

Ký hiệu : Tσ

Và được biểu diễn:

σ x τ yx τ zx 





Tσ = τ xy σ y τ xz 

τ τ σ 

 zx yz z 

Tenxơ ứng suất là một tenxơ hạng 2 đối xứng vì theo định luật đối ứng

của ứng suất tiếp ta có

thành phần độc lập.

2.2.5. Tenxơ lệch ứng suất và Tenxơ cầu ứng suất :

Tenxơ ứng suất có thể chia thành Tenxơ lệnh ứng suất Dσ và Tenxơ cầu

ứng suất Toσ

τ zx

σ x τ yx τ zx  (σ x − σ tb ) τ yx



σ tb 0 0 



 







τ xy σ y τ xz  =  τ xy (σ y − σ tb ) τ xz

+ a 0 σ tb 0 





τ τ σ   τ

0 τ yz σ tb 

τ yz (σ z − σ tb )





zx

 zx yz z  



Tσ =

Dσ

+

Toσ

1

σ tb = (σ x + σ y + σ z )

3

Với

: Ứng suất pháp trung bình.

Dσ: Tenxơ lệch ứng suất, gây ra biến dạng hình dạng của phân tử.

Toσ : Tenxơ cầu ứng suất, gây ra biến dạng thể tích của phân tử.

§2.3. MẶT CHÍNH - PHƯƠNG CHÍNH - ỨNG SUẤT CHÍNH

τ xy = τ yx ; τ yz = τ zy ; τ xz = τ zx , vậy tenxơ ứng suất có 6

2.3.1.Khái niệm:

* Mặt chính là mặt trên đó có ứng suất tiếp bằng không;

* Phương chính là phương pháp tuyến của mặt chính.

* Ứng suất chính là ứng suất pháp trên mặt chính . Ký hiệu σ n .

*

Giả sử có phương chính n với l = cos (n, x)

m = cos (n , y)

n = cos (n , z)

Trên mặt chính ứng suất toàn phần Pn sẽ có phương vuông góc với mặt

chính và có giá trị Pn = σ n .

Do đó hình chiếu Pnx, Pny, Pnz của P--n lên các trục x, y, z là :

Pnx = σn.l

Pny = σn.m

(2.9)

Pnz = σn.n