Phần 1 được viết theo góc nhìn của June.

-

Hàm Số Không Có Nghịch Đảo

Có những điều không thể biểu diễn bằng phương trình – tôi từng không tin vào câu nói đó.

Tôi lớn lên cùng ký hiệu toán học. Khi người khác miêu tả cảm xúc bằng văn chương, tôi học cách quy mọi biến động về hệ tọa độ. Thay vì viết “yêu” hay “buồn”, tôi phân rã cảm xúc thành dạng sóng, tính đạo hàm nếu cần thiết. Tôi chọn giải tích hàm – một nhánh sâu của toán học – làm ngôn ngữ sống. Trong thế giới ấy, không gian Hilbert là nhà.

Không gian Hilbert là một không gian vector – có thể vô hạn chiều – trong đó tồn tại một tích trong ⟨·,·⟩, cho phép định nghĩa được góc giữa hai hàm, khoảng cách giữa hai trạng thái, và đặc biệt, nó hoàn chỉnh: mọi chuỗi hội tụ đều có giới hạn thuộc chính không gian đó.

Điều này biến Hilbert thành không gian lý tưởng để mô hình hóa âm thanh, hình ảnh – và cả… những trạng thái tình cảm phức tạp.

Tôi yêu Hilbert vì nó cho tôi khả năng đo mọi khoảng cách – kể cả giữa những thứ tưởng như không định lượng được. Trong không gian ấy, mỗi hàm là một biểu hiện cảm xúc, và nếu hai hàm ⟨f, g⟩ = 0, thì chúng trực giao – hoàn toàn không ảnh hưởng đến nhau.

Tôi từng tin rằng nếu một cảm xúc không đo được bằng tích trong, thì nó chỉ là nhiễu. Nhưng rồi tôi nhìn thấy lại ánh mắt ấy – ánh mắt khiến mọi lý thuyết tôi học được rung chuyển.

Buổi hội thảo liên ngành “Ngôn ngữ mô hình và thế giới cảm xúc” diễn ra tại giảng đường lớn của Viện nghiên cứu. Tôi là diễn giả thứ sáu. Đề tài:

“Biểu diễn cấu trúc cảm xúc bằng cơ sở trực chuẩn trên không gian Hilbert.”

Trước giờ thuyết trình, tôi rà lại slide:

Trang 19: minh họa một ánh xạ tuyến tính không khả nghịch – nghĩa là hai đầu vào khác nhau có thể cho cùng một đầu ra, khiến việc “tìm ngược” trở nên bất khả thi.

Ví dụ: nếu hàm f(x) = x², thì f(2) = f(−2) = 4. Ta không thể xác định đầu vào duy nhất từ đầu ra – hàm không có nghịch đảo.

Trang 30: biểu diễn phép chiếu từ không gian Hilbert H xuống không gian con L, dùng để tìm hàm gần nhất với một trạng thái đã cho – giống như cách ta chiếu nỗi nhớ về một phiên bản giản lược dễ hiểu hơn.

Trang cuối: một biểu thức chưa hoàn chỉnh, do tôi gõ vội tối qua:

f(x) = α·ϕ(x) + β·ψ(x)

||f||² = ⟨f, f⟩ = α²·||ϕ||² + β²·||ψ||² + 2αβ⟨ϕ, ψ⟩.

«Phần công thức trên có thể hiểu là: “Tớ không gọi tên, nhưng biểu thức đó là về một người. Người ấy được tạo thành từ hai ảnh hưởng sâu sắc – một phần là ϕ, một phần là ψ. Và tổng năng lượng của người ấy – chính là kết quả của sự hòa quyện giữa cả hai. Nếu ϕ và ψ càng đồng điệu, người đó càng ổn định và trọn vẹn.”»

Đây là công thức chuẩn hóa bình phương trong không gian Hilbert, tương tự định lý Pythagoras mở rộng: tổng năng lượng của tổ hợp f được tạo từ hai “trạng thái gốc” ϕ và ψ, cùng trọng số α, β.
Tôi đang mô tả ai đó – mà không cần ghi tên.

Khi bước lên bục, tôi thoáng thấy hàng ghế thứ tư. Mái tóc nâu, ánh mắt ấy – quen thuộc như những chiều thư viện năm ba.

Mewnich.

Với người khác, thời gian là một ánh xạ tuyến tính không đảo ngược – như hàm f(x) = x + 1, luôn đi về phía trước. Nhưng với tôi, chỉ cần gặp đúng đầu vào, mọi cộng hưởng năm xưa đều hiện về.

Tôi bắt đầu bài nói:

“Chào mọi người. Tôi là June. Hôm nay tôi chia sẻ một mô hình: biểu diễn cảm xúc như tổ hợp tuyến tính trong không gian Hilbert.”

“Giả sử ϕ(x) và ψ(x) là hai hàm biểu diễn cảm xúc của hai người. Khi họ gặp nhau, trạng thái của họ được tổ hợp thành một hàm mới:”

f(x) = α·ϕ(x) + β·ψ(x)
với α, β ∈ ℝ

“Đây là một tổ hợp tuyến tính – tức là một cách kết hợp cảm xúc theo tỷ lệ – và biểu thức f(x) chính là mối quan hệ.”

Tôi liếc xuống. Cô ấy không chớp mắt. Và tôi, một lần nữa, không thể đo được tích trong giữa mình và Mewnich.

Chúng tôi gặp lại sau buổi hội thảo.

“Cậu vẫn nói chuyện như một giáo trình giải tích,” cô ấy cười.

“Còn cậu vẫn nghe như thể hiểu hết, dù không học toán.” - tôi cất lời.

“Hồi năm ba, tớ từng đọc bài viết của cậu về ánh xạ compact.”

Ánh xạ compact là loại ánh xạ tuyến tính có khả năng “nén” thông tin – đưa một tập vô hạn vào một tập có tính hội tụ. Giống như việc nhìn vào một ánh mắt mà hiểu được cả quá khứ của người ấy.

“Không hiểu rõ,” cô ấy tiếp, “nhưng thấy đẹp.”

Tôi ngập ngừng. “Cái bài về phép chiếu từ L²[0,1] vào C[0,1] ấy hả?”

«L²[0,1] là không gian của các hàm bình phương khả tích – dùng để mô tả tín hiệu.

C[0,1] là không gian các hàm liên tục trên đoạn [0,1].
Việc chiếu từ L² sang C giống như việc cố gắng “liên tục hóa” một chuỗi cảm xúc rời rạc – như làm trơn một ký ức.»

“Ừ. Giống tình yêu thật – từ hỗn loạn đến liên tục.” - Mewnich nhoẻn miệng cười tươi.

“Cậu biết không,” tôi nói khi chúng tôi đi cạnh nhau. “Tớ từng nghĩ mình là một hàm đơn ánh – injective.”

«Hàm injective là loại hàm mà mỗi đầu vào cho một đầu ra duy nhất. Không có hai input khác nhau nào cho cùng một output – giống như cảm xúc của tôi dành cho người ấy là không thể trùng lặp.»

“Vậy tớ là gì trong định nghĩa đó?” - Mewnich bất ngờ hỏi.

Tôi khựng lại. “Là ngoại lệ. Là biến số khiến hàm của tớ... mất tính đơn ánh.”

Tại quán cà phê cũ, ánh nắng lọc qua cửa kính, in bóng lên tách cà phê. Mỗi giọt cà phê là một biến đầu vào, và tôi không biết f(x) sẽ ra gì.

“Tớ từng thử viết phương trình cảm xúc,” tôi thú nhận.

“Thất bại?”

“Ừ. Mỗi lần gặp cậu, tớ lại thay đổi α, β – cố tìm tổ hợp đúng. Nhưng sai số luôn lớn. Tớ không xác định được miền đầy đủ.”

“Có thể vì cậu bỏ qua những điểm không khả vi,” cô ấy nói. “Nhưng cảm xúc đâu chỉ tồn tại ở những đoạn mượt mà.”

«Một hàm khả vi là hàm có đạo hàm – tức là “trơn”, không gãy khúc. Nhưng trong đời thật, cảm xúc thường là hàm gián đoạn, có lúc gãy, có lúc nhảy bậc – như tình yêu lỡ mất một lần nắm tay năm xưa.»

Tối đó, tôi viết trong nhật ký:

“Trong không gian Hilbert, có vô vàn cơ sở trực chuẩn – những tập hàm độc lập, chuẩn hóa, dùng để biểu diễn toàn bộ không gian. Nhưng không cơ sở nào đủ để biểu diễn nàng.

Có lẽ chúng tôi cần tạo ra một không gian con mới – nơi cả hai cùng là cơ sở đầu tiên.”

-

Tổ Hợp Tuyến Tính Của Một Nỗi Nhớ

Từ sau buổi hội thảo, tôi bắt đầu mơ về những tích trong. Không phải là những ký hiệu trong sách giáo trình, mà là sự giao thoa lặng lẽ giữa tôi và cô – không phát ra tiếng, nhưng luôn hiện hữu.

Trong giấc mơ, tôi đứng ở giữa một không gian Hilbert vô hạn chiều, xung quanh tôi là vô số hàm số lướt qua – giống như cảm xúc biến thiên vô định. Mỗi hàm mang theo một phần ký ức. Tôi không xác định được đầu vào, nhưng luôn cảm thấy tồn tại một thành phần ẩn nào đó chi phối toàn bộ.

“Tôi là một tổ hợp tuyến tính không hội tụ. Một chuỗi không chính quy. Một biểu diễn rời rạc của một điều gì đó chưa từng có công thức.”

Một tuần sau, tôi hẹn Mewnich ở thư viện. Cô đến đúng giờ, như thường lệ. Tay cô ấy ôm một quyển sách với tiêu đề tự in: “Không gian con và những phép chiếu của ký ức”.

“Cậu tự viết ra à?” Tôi hỏi, giọng nhẹ.

“Ừ. Vì hôm nay chúng mình sẽ nói chuyện về chiếu tuyến tính.”

Tôi khẽ mỉm cười. Không gian con mà cô ấy tạo ra trong tôi dường như bắt đầu tồn tại thực sự – như một tập con đóng trong một không gian lớn hơn.

Chúng tôi ngồi đối diện. Tôi mở laptop, kéo đến một trang viết nháp.

“Giả sử có hai hàm ϕ(x) và ψ(x), lần lượt đại diện cho cảm xúc của tớ và của cậu. Khi hai người giao nhau, mối quan hệ được mô hình hóa thành một tổ hợp:

f(x) = αϕ(x) + βψ(x)

,với α, β ∈ ℝ.”

“Giống như phép cộng véc-tơ cảm xúc?” cô ấy hỏi.

“Đúng vậy.” Tôi gật đầu. “Trong không gian Hilbert, mọi tổ hợp tuyến tính đều tồn tại nếu cơ sở đầy đủ. Nhưng...”

“Tớ đoán – cậu không hội tụ được?” - Mewnich nhẹ nhàng thì thầm.

Tôi gật. “Tớ thử nhiều giá trị α, β khác nhau. Nhưng f(x) không ổn định. Sai số tại những điểm ‘đáng nhớ’ luôn lớn. Đồ thị nhảy bậc ở những điểm mà tớ từng nghĩ là ‘hạnh phúc’.”

Mewnich tựa cằm lên tay.

“Có thể vì ϕ và ψ không cùng thuộc một không gian,” cô ấy nói.

Tôi sững lại. “Ý cậu là?”

“Cậu biểu diễn cảm xúc bằng các hàm trong L²[0,1] – không gian bình phương khả tích – vốn dùng cho những đại lượng năng lượng. Còn tớ thì dùng hàm trong C[0,1], không gian các hàm liên tục. Vì thế tổ hợp f(x) của cậu không khả vi, thậm chí không xác định tại vài điểm.”

«L²[0,1] chứa các hàm có tích phân bình phương hữu hạn, dùng trong xử lý tín hiệu, biểu diễn trạng thái rời rạc và có thể có gián đoạn.

C[0,1] chứa các hàm liên tục, không gián đoạn, thích hợp với dòng chảy cảm xúc ổn định.

Nếu ϕ ∈ L² và ψ ∈ C, thì f(x) có thể không khả vi, thậm chí không liên tục.»

Tôi cười, bất giác chạm tay lên trán.

“Vậy có cách nào để mở rộng miền xác định không?”

“Có. Nếu cậu chấp nhận f là hàm từng phần.”

«Hàm từng phần (partial function) là hàm chỉ xác định trên một tập con của miền gốc. Cũng giống như cảm xúc – không phải lúc nào cũng rõ ràng toàn cục, chỉ xuất hiện tại những thời điểm đặc biệt.»

Chúng tôi ngồi trong yên lặng. Nhưng không phải yên lặng trống rỗng. Mỗi ánh nhìn trao đi như một lần nội tích ⟨ϕ, ψ⟩ được đo lại – và kết quả không bằng 0.

«Trong không gian Hilbert, nếu ⟨ϕ, ψ⟩ = 0, hai hàm hoàn toàn trực giao – không ảnh hưởng đến nhau. Nhưng giữa chúng tôi, ảnh hưởng luôn tồn tại. Vì thế, tích trong là một giá trị dương.»

Tối hôm đó, tôi bật máy tính, mở bảng vẽ công thức.

“Mối quan hệ tình cảm có thể là một ánh xạ tuyến tính không liên tục.”

«Điều đó nghĩa là: một thay đổi nhỏ ở đầu vào (hành vi, lời nói) có thể gây ra biến đổi lớn ở đầu ra (cảm xúc). Không tồn tại hằng số Lipschitz để giới hạn sự sai lệch – biểu hiện rõ của một mối quan hệ mong manh.»

Tôi vẽ một đồ thị:

Một điểm nơi ánh mắt cô ấy chạm vào tôi (x₀),

Một điểm nơi tôi quay đi (x₁),

Và đoạn gián đoạn – nơi lẽ ra tôi nên nắm tay cô ấy ở hành lang năm tư, nhưng tôi đã chần chừ, và không làm vậy.

«Hàm không liên tục: tại điểm đó, lim(x→x₀⁻) ≠ lim(x→x₀⁺) ≠ f(x₀) → giống như cảm xúc bị đứt mạch.»

Một buổi chiều khác, chúng tôi ngồi trong khuôn viên đại học. Gió lùa qua các tán phượng tím. Hoa rơi như giá trị ngẫu nhiên từ một hàm số chưa xác định được miền.

“June.”

“Ừ?”

“Cậu có nghĩ chúng ta là một chuỗi cơ sở không đầy đủ không?”

Tôi ngừng lại, cảm nhận sự rung chuyển trong không khí.

“Ý cậu là?”

“Chúng ta không đủ để biểu diễn toàn bộ không gian cảm xúc của nhau. Nhưng vẫn có thể tạo ra một không gian con – nơi đủ gần để hiểu.”

Tôi ngẫm nghĩ. Rồi gật đầu.

“Có thể dùng Định lý Bessel. Nó nói rằng nếu ⟨f, eₙ⟩ là tích trong giữa f và các phần tử trong một tập trực chuẩn {eₙ}, thì tổng các bình phương ⟨f, eₙ⟩² luôn nhỏ hơn hoặc bằng ||f||².”

«Nghĩa là: chỉ cần đủ gần, ta có thể xấp xỉ mọi trạng thái, dù không đầy đủ toàn bộ không gian.»

“Vậy thì,” cô ấy cười, “tớ không cần hiểu hết. Tớ chỉ cần ở gần.”

Tối hôm đó, tôi mở nhật ký.

“Tình yêu không nhất thiết phải là một ánh xạ toàn phần.

Không cần xác định trên mọi miền.

Chỉ cần tại một điểm – x = tớ gặp cậu – f(x) tồn tại. Vậy là đẹp.”

-

Phép Chiếu Lên Một Khoảng Không Gian Con

Nếu tôi là một hàm số, tôi đang sống trong không gian Hilbert của riêng mình – đầy đủ, có tích trong, có chuẩn, có khoảng cách, nhưng đôi khi lại quá phức tạp để tìm ra một điểm hội tụ. Tôi từng nghĩ mình có thể tồn tại độc lập, tự biểu diễn cảm xúc, tự phân rã thành tổ hợp của các thành phần cảm xúc nhỏ – và sống như vậy mãi. Cho đến khi Mewnich trở thành một yếu tố không thể bị bỏ qua trong mọi biểu thức.

«Trong không gian Hilbert {H}, một hàm f có thể được chiếu trực giao về một không gian con {M} \{H}  thông qua phép chiếu, sao cho:

{f = P(f) + (f - P(f))}

Với {P(f) \in M} và {(f - P(f)) \perp M}

Mewnich chính là không gian con đó. Còn tôi – tôi cần chiếu mình về phía nơi cô ấy tồn tại.

Tôi gặp lại cô ấy ở quán cà phê nhỏ bên ngoài viện. Mewnich chọn ngồi gần cửa kính, nơi ánh sáng mềm rọi xuống cổ tay lộ ra dưới tay áo xắn gọn. Hôm nay trời trong, gió nhẹ, mọi biến động trong không khí dường như khả vi đến tận từng chuyển động nhỏ nhất.

“Cậu ổn không?” cô ấy hỏi khi tôi đặt tập tài liệu xuống.

“Tớ không biết. Hình như tớ đang bị… phân rã.”

Mewnich mỉm cười. “Ý cậu?”

“Tớ nghĩ tớ là một hàm có thể phân tích thành chuỗi Fourier. Nhưng càng cố tách, tớ càng mất chính mình.”

«Chuỗi Fourier là một công cụ toán học mạnh mẽ giúp biểu diễn một hàm tuần hoàn thành tổng vô hạn của các hàm sin và cos. Tức là, bất kỳ dạng sóng phức tạp nào cũng có thể được phân tích thành các thành phần sóng cơ bản. Nhưng không phải lúc nào việc phân tích ấy cũng giữ được toàn vẹn bản chất ban đầu.»

Cô ấy lại cười, nghiêng đầu. “Hay là cậu đừng cố nữa.”

Tôi không trả lời. Thay vào đó, tôi mở bản thảo mới – thứ tôi chưa từng cho ai xem.

Bản thảo ấy là một mô hình tình cảm, nơi tôi giả định:

«Mỗi mối quan hệ là một hàm {f} trong không gian Hilbert {H}

Có tồn tại một không gian con {M} – chính là vùng cảm xúc mà người kia chiếm giữ

Khi chiếu {f} lên {M}, ta được phần cảm xúc gần với nàng nhất

{f(x) \approx P_M(f)(x)}

Với {P_M} là phép chiếu trực giao:

{P_M(f) = \sum \langle f, e_n \rangle e_n}

Trong đó {\{e_n\}} là cơ sở trực chuẩn của {M}

Vấn đề là – tôi không có cơ sở trực chuẩn nào đủ để sinh ra {M}.

Mỗi lần gần Mewnich, tôi thấy mình đang chiếu sai. Mọi phép chiếu đều lệch góc, tất cả nội dung bị mất đi trong thành phần trực giao {f - P(f)}.»

“Tớ đang viết về cậu,” tôi nói, không dám nhìn thẳng vào mắt của Mewnich .

“Và cậu có viết được không?” - ánh mắt Mewnich sáng rực lên.

“Tớ không đủ cơ sở.”

Chiều hôm đó, chúng tôi đến thư viện khoa Toán. Nơi đây vẫn không thay đổi: các kệ sách cao, thang trượt bằng gỗ sẫm, tiếng quạt quay đều như định lý vẫn tiếp tục hoạt động dù lòng người đổi thay.

Tôi dẫn cô tới tầng 2, góc chuyên đề giải tích hàm. Mở một cuốn sách cũ, tôi chỉ cho cô xem một ví dụ:

«Trong {L^2[-\pi, \pi]}, ta có thể xấp xỉ hàm bất kỳ bằng chuỗi Fourier:

{f(x) \approx \frac{a_0}{2} + \sum (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))}»

Nhưng không phải mọi hàm đều biểu diễn hoàn hảo. Có những điểm không hội tụ. Có những biên độ không đo được.

“Cũng giống như tớ,” tôi nói. “Tớ không thể dùng chuỗi để xấp xỉ hết mọi điều về cậu.”

Mewnich không trả lời. Cô lấy bút, viết một dòng vào sổ tay của tôi:

“Chúng ta không cần hội tụ tuyệt đối. Chỉ cần hội tụ theo chuẩn.”

«Trong không gian Hilbert, hội tụ tuyệt đối yêu cầu tổng \sum |a_n| phải hội tụ, nhưng hội tụ theo chuẩn chỉ yêu cầu \|f - f_n\| \to 0, tức là sai số trung bình toàn miền trở nên nhỏ đến mức chấp nhận được.»

Tôi về nhà, nằm xuống, và suy nghĩ về câu nói ấy. Hội tụ theo chuẩn – nghĩa là trong toàn bộ không gian, sai số trung bình trên toàn miền là đủ nhỏ để bỏ qua. Không cần đúng tại mọi điểm. Không cần hoàn hảo. Chỉ cần gần đúng trong toàn cục.

Tôi bắt đầu viết lại mô hình cảm xúc:

«f = \alpha \cdot \phi + \beta \cdot \psi + \varepsilon»

Trong đó \varepsilon là thành phần trực giao – phần sai số, phần không thể biểu diễn, phần tự do của cảm xúc.

Và tôi chấp nhận: không thể triệt tiêu varepsilon. Nhưng có thể sống chung với nó.

Lần gặp sau, tôi mang theo mô hình ấy.

“Cậu biết không,” tôi nói khi cả hai ngồi dưới tán cây long não, “Tớ đã thôi cố xấp xỉ cảm xúc bằng chuỗi. Thay vào đó, tớ đang xây dựng một không gian con nơi cậu là cơ sở.”

Mewnich bật cười. “Vậy tớ là vectơ {e_1} ha?”**

“Tớ sẽ chọn một tập trực chuẩn, nhưng cậu luôn là đầu tiên.” - tôi đáp lại.

Mewnich nhìn lên bầu trời, nơi những tán lá đan vào nhau thành hình hyperbola. Rồi cô ấy quay sang:

“Vậy còn phần sai số?”

“Tớ giữ nó lại. Như phần cảm xúc không thể định nghĩa. Nó làm mô hình cảm xúc trở nên sống động hơn.”

Tối hôm đó, Mewnich gửi email cho tôi – dòng chữ duy nhất:

P_M({June}) = {phần mà cậu giữ lại từ tớ}*

==========

Chú Thích

*: Câu này mà đem đi tỏ tình với dân chuyên toán (ở bậc Đại học hoặc Cao học) là hết sảy luôn nha :)))

Để t giải thích thêm hen. Đọc tiếp giải thích ở phần tiếp theo.

**: đọc thêm ở phần sau.